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含绝对值的不等式解法练习题及答案

发布时间:2019-06-05 05:22 来源:未知 编辑:admin

  例 1 不等式8-3x>0 的解集是 [ ] A.? 8 C.{xx≠ } 3 B.R 8 D.{ } 3 8 阐发 ∵8- 3x > 0,∴8- 3x≠ 0,即x≠ . 3 答 选 C. 例 2 绝对值大于 2 且不大于 5 的最小整数是 [ A.3 B.2 C.-2 D.-5 阐发 列出不等式. 解 按照题意得 2<x≤5. 从而-5≤x<-2 或 2<x≤5,此中最小整数为-5, 答 选 D. 例 3 不等式 4<1-3x≤7 的解集为________. 阐发 操纵所学学问对不等式实施同解变形. 解 原不等式可化为 4<3x-1≤7,即 4<3x-1≤7 或-7 ] 5 8 ≤3x-1<-4 解之得 <x≤ 或-2≤x<-1,即所求不等式解集为 3 3 5 8 {x -2 ≤x<-1或 <x≤ }. 3 3 例 4 已知调集 A={x2<6-2x<5,x∈N},求 A. 阐发 转化为解绝对值不等式. 解 ∵2<6-2x<5 可化为 2<2x-6<5 ?-5< 2x- 6<5, 即? ?2x- 6> 2 或 2x- 6<- 2 , ?1< 2x<11, 即? ?2x>8或 2x< 4 , 解之得 4 <x< 11 1 或 <x< 2 . 2 2 由于 x∈N,所以 A={0,1,5}. 申明:留意元素的限制前提. 例 5 实数 a,b 满足 ab<0,那么 [ ] A.a-b<a+b B.a+b>a-b C.a+b<a-b D.a-b<a+b 阐发 按照符号法例及绝对值的意义. 解 ∵a、b 异号, ∴ a+b<a-b. 答 选 C. 例 6 设不等式x-a<b 的解集为{x-1<x<2},则 a,b 的值为 [ A.a=1,b=3 B.a=-1,b=3 C.a=-1,b=-3 ] D.a= 1 3 ,b= 2 2 阐发 解不等式后比力区间的端点. 解 由题意知,b>0,原不等式的解集为{xa-b<x<a+b},因为解集又为 {x-1<x<2}所以比力可得. ?a-b=-1 1 3 ,解之得a= ,b= . ? 2 2 ?a+b= 2 答 选 D. 申明:本题现实上是操纵端点的位置关系机关新不等式组. 例 7 解关于 x 的不等式2x-1<2m-1(m∈R) 阐发 分类会商. 1 解 若 2m-1≤ 0即m≤ ,则2x-1 < 2m-1恒不成立,此时原不等 2 式的解集为?; 1 若 2m-1> 0即m> ,则- (2m-1) < 2x-1< 2m-1,所以1-m< 2 x<m. 1 综上所述得:当m≤ 时原不等式解集为?; 2 1 当m> 时,原不等式的解集为 2 {x1-m<x<m}. 申明:分类会商时要事后确定分类的尺度. 例8 解不等式 阐发 去分母. 3- x 1 ≥ . x +2 2 一般地说,能够移项后变形求解,但留意到分母是负数,所以能间接 解 留意到分母x+2>0,所以原不等式转化为 2(3-x)≥x+2,拾掇得 4 4 4 4 4 x ≤ ,从而能够解得- ≤x≤ ,解集为{x - ≤x≤ }. 3 3 3 3 3 申明:分式不等式常常能够先鉴定一下 分子或者分母的符号,使过程简洁. 例 9 解不等式6-2x+1>1. 阐发 以通过变形化简,把该不等式化归为ax+b<c 或ax+b>c 型的不等 式来解. 解 现实上原不等式可化为 6-2x+1>1 ① 或 6-2x+1<-1 ② 由①得2x+1<5,解之得-3<x<2; 由②得2x+1>7,解之得 x>3 或 x<-4. 从而获得原不等式的解集为{xx<-4 或-3<x<2 或 x>3}. 申明:本题需要多次利用绝对值不等式的解题理论. 例 10 已知关于 x 的不等式x+2+x-3<a 的解集长短空调集, 则实数 a 的 取值范畴是________. 阐发 能够按照对x+2+x-3的意义的分歧理解,获得多种方式. 解法一 当 x≤-2 时,不等式化为-x-2-x+3<a 即-2x+1<a 有解,而 -2x+1≥5, ∴a>5. 当-2<x≤3 时,不等式化为 x+2-x+3<a 即 a>5. 当 x>3 是,不等式化为 x+2+x-3<a 即 2x-1<a 有解,而 2x-1>5,∴a >5. 综上所述:a>5 时不等式有解,从而解集非空. 解法二 x+2+x-3暗示数轴上的点到暗示-2 和 3 的两点的距离之和,显 然最小值为 3-(-2)=5.故可求 a 的取值范畴为 a>5. 解法三 操纵m+n>m±n得 x+2+x-3≥(x+2)-(x-3)=5. 所以 a>5 时不等式有解. 申明:通过多种解法熬炼思维的发散性. 例 11 解不等式x+1>2-x. 阐发一 对 2-x 的取值分类会商解之. 解法一 原不等式等价于: ?2 -x≥ 0 ①? ?x+1> 2 -x或x+1<x- 2 ?2 -x< 0 或 ②? ?x∈R ?x≤2 ? 由①得 ? 1 x> 或1<-2 ? 2 ? ?x≤2 ? 即? 1 1 x> ,所以 <x≤2 ; ? 2 2 ? 由②得 x>2. 1 1 分析①②得x> .所以不等式的解集为{xx> }. 2 2 阐发二 操纵绝对值的定义对x+1进行分类会商解之. 解法二 由于 ? x+1,x≥-1 x+1 = ? ?-x-1,x<-1 原不等式等价于: ?x ? 1≥ 0 ?x ? 1< 0 ①? 或② ? ?x ? 1> 2 ? x ?? x ? 1> 2 ? x ?x≥ ? 1 1 ? 由①得 ? 1 即x> ; 2 x> ? 2 ? ?x<-1 由②得 ? 即x∈?. ?-1> 2 1 所以不等式的解集为{xx> }. 2 例 12 解不等式x-5-2x+3<1. 阐发 设法去掉绝对值是次要解题策略,能够按照绝对值的意义分 3 区间会商,现实上,因为x=5时,x-5 = 0,x=- 时2x+ 3 = 0. 2 3 所以我们能够通过- ,5将x轴分成三段别离会商. 2 3 解 当x≤- 时,x-5< 0, 2x+ 3≤ 0所以不等式转化为 2 -(x-5)+(2x+3)<1,得 x<-7,所以 x<-7; 3 当- <x≤5时,同理不等式化为 2 -(x-5)-(2x+3)<1, 1 1 解之得x> ,所以 <x≤5; 3 3 当 x>5 时,原不等式可化为 x-5-(2x+3)<1, 解之得 x>-9,所以 x>5. 1 综上所述得原不等式的解集为{xx> 或x<- 7}. 3 申明:在含有绝对值的不等式中, “去绝对值”是根基策略. 例 13 解不等式2x-1>2x-3. 阐发 本题也可采纳前一题的方式:采纳用零点分区间会商去掉绝 对值,但如许比力复杂.若是采纳两边平方,即按照a >b ? a 2 >b 2 解 之,则更显得流利,简捷. 解 原不等式同解于 (2x-1)2>(2x-3)2, 即 4x2-4x+1>4x2-12x+9, 即 8x>8,得 x>1. 所以原不等式的解集为{xx>1}. 申明:本题中,若是把 2x 看成数轴上的动坐标,则2x-1>2x-3暗示 2x 到 1 的距离大于 2x 到 3 的距离,则 2x 该当在 2 的左边,从而 2x>2 即 x>1.

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